» CONTRATTI DI OPZIONE: CONCETTI DI BASE «

Si tratta ancora di contratti a termine dove il rischio di fluttuazioni dei prezzi è assunto da una sola controparte a fronte dell’incasso di un premio. Alla data della stipulazione del contratto quindi ci si scambia qualcosa (a differenza dei contratti futures dove non ci si scambia nulla) per il quale si paga un corrispettivo, e questo qualcosa è il rischio. Il meccanismo della trasmissione del rischio avviene attraverso la cessione di un diritto esercitabile a (entro) una determinata scadenza.

In particolare, il tipico contratto di opzione conferisce all’acquirente il diritto ad acquistare(vendere) una determinata quantità di sottostante, ad un prezzo fissato a(entro) una scadenza futura. Il venditore (writer) dell’opzione ha il dovere di adempiere al contratto qualora l’acquirente lo richieda.

Il fatto che si acquisti il “diritto” a fare qualcosa, ci fa ben capire il concetto di trasferimento del rischio e la conseguente esistenza di un premio da pagare.

Analizzando le caratterisctiche del contratto singolarmente, si parla di:

  Opzione Call: diritto di acquisto;

  Opzione Put: diritto di vendita;

  Strike Price (base): prezzo al quale si ha diritto ad acquistare (call) o a vendere (put);

  Sottostante: bene oggetto del contratto (come per i futures esistono varie tipologie di sottostante);

  Multiplo o dimensione: quantità di sottostante oggetto del contratto;

Opzione Europea: il diritto può essere esecitato solo a scadenza;

  Opzione Americana: il diritto può essere esercitato in qualsiasi momento entro la scadenza.

Nel seguito viene utilizzata la seguente notazione:

S = valore corrente del sottostante

K = strike price

T = scadenza

t = data corrente

S_T = valore sottostante a scadenza

r = tasso senza rischio

C = valore di una call

P = valore di una put

s = volatilità del sottostante (deviazione standard dei prezzi).

Per semplicità considereremo sempre un multiplo uguale a 1 parlando in generale, anche perché è il metodo di quotazione usato per il mercato IDEM.

Possiamo ora iniziare a ragionare sul valore a scadenza di un’opzione.

Consideriamo ad esempio una call sul titolo Telecom Italia e siano S = K = 14 e C = 0,3. A scadenza se S_T = 16 converrà esercitare il diritto, acquistare a 14, vendere a 16 ed ottenere un profitto netto di 16-14-0,3=1,7. Ovviamente converrà esercitare fino a che risulterà S_T > K. Si noti che per recuperare interamente le perdite il sottostante deve finire ad almeno K + C, nel nostro caso 14,3. Se S_T < K ovviamente il diritto non verrà esercitato, l’opzione varrà zero e si resta con la perdita dell’intero premio pagato pari a 0,3. Tale situazione può essere riassunta dicendo che il valore a scadenza è il

Max(S_T-K;0)

al quale si toglie il premio pagato per calcolare il payoff totale della posizione.

La seguente tabella excel fornisce il grafico dell’opzione in esempio per una serie di possibili valori di S_T 

Ovviamente la posizione del venditore dell’opzione è simmetrica. Il payoff della sua posizione sarà

-Max(S_T-K;0)=Min(K-S_T;0)

a cui si aggiunge il premio incassato. 

Per una opzione put, ragionando in modo simile, si ottiene che il payoff per una posizione lunga (acquisto) su put sarà

Max(K-S_T;0)

mentre per una posizione corta sarà

-Max(K-S_T;0)=Min(S_T-K;0) 

Se passiamo ora a considerare un istante qualsiasi prima della scadenza, arguiamo immediatamente che deve sempre valere

C >= Max(S-K;0) e P >= Max(K-S;0).

Facciamo l’esempio per una call e ipotizziamo che sia S=10, K=8 e C=1. Si può vendere il titolo a 10 e comprare la call a 1. Se a scadenza il titolo vale più di 8, la call viene esercitata e si chiude la posizione con un profitto di 1 (9-8=1; quanto mi rimaneva in tasca – riacquisto del titolo). Se a scadenza il titolo vale meno di 8, poniamo 7, il profitto è 9-7=2 e più il titolo scende più si guadagna. Tutto senza averci messo nessun capitale; un classico arbitraggio.

Due sono le cose interessanti dell’esempio: la prima è che sembra proprio che la strategia messa in opera (vendita del titolo e acquisto della call) si comporti come un’opzione put; la seconda è che non si può dimenticare il tasso senza rischio.

Rimandando al seguito le precisazioni sulla prima, supponiamo ora che con i dati dell’esempio precedente si abbia anche r = 10%, che sia C = 2,1 e che manchino due mesi a scadenza.

Vendiamo il titolo a 10, acquistiamo la call a 2,1 e mettiamo al tasso senza rischio il rimanente 7,9. A scadenza il montante al tasso senza rischio e 7,9e^-0,1*2/12=8,033. I casi poi sono uguali a prima. Se il titolo quota più di 8, spendo 8 esercitando la call e avanzano 0,033, se il titolo quota meno di 8 guadagno ancora di più. Ancora una volta un profitto certo senza impegno di fondi: un arbitraggio.

La relazione corretta quindi sarà

C >= Max(S-Ke^-r(T-t);0) e P >= Max(Ke^-r(T-t)-S;0).

Utilizzando come al solito i due portafogli, siano:

1. una call euopea più un ammontare in contanti pari a Ke^-r(T-t)
2. una unità di sottostante.

Riassumendo in una tabella i possibili payoff a scadenza dei due portafogli si otterrebbe: 

Si nota che il primo portafoglio a scadenza vale il Max(S_T,K) mentre il secondo vale sempre S_T. Dal fatto che il valore a scadenza del primo portafoglio è sempre maggiore o uguale al valore del secondo, anche oggi deve valere la stessa relazione, quindi

C + Ke^-r(T-t) > S

C > S - Ke^-r(T-t)

Tenendo conto del fatto che il peggio che può accadere al possessore dell’opzione è di avere un valore pari a zero a scadenza, il valore oggi deve essere positivo, allora

C >= Max(S-Ke^-r(T-t);0).

Per una put si ragiona in modo analogo dove i due portafogli da considerare sono:

3. una put europea più una unità di sottostante;
4. un ammontare in contanti pari a Ke^-r(T-t).

Ancora il primo portafoglio vale Max(S_T,K) mentre ilsecondo sempre K. Allora oggi

P + S > Ke^-r(T-t)

P > Ke^-r(T-t) – S

quindi

P >= Max(Ke^-r(T-t) – S;0).

Le quantità Max(S-K;0) e Max(K-S;0), pur non avendo significato nella determinazione di limiti di prezzo per le opzioni, sono comunque utilizzate in quanto forniscono il valore del derivato qualora esso venisse esercitato immediatamente: si parla allora di valore intrinseco.

Con riferimento a tale valore intrinseco si suole classificare le opzioni in tre categorie:

  Out of the money (OTM): il valore intrinseco è pari a zero. Se inoltre lo strike di una call (put) è molto superiore (inferiore) al prezzo corrente, si parla di opzioni deep out of the money (DOTM).

  At the money (ATM): lo strike è uguale al prezzo corrente.

  In the money (ITM): il valore intrinseco è positivo. Se inoltre lo strike di una call (put) è molto inferiore (superiore) al prezzo corrente, si parla di opzioni deep in the money (DITM).

La parità Put-Call

Semplicemente notando che nella discussione svolta sopra i portafogli 1 e 3 avevano un valore uguale a scadenza, pari a Max(S_T,K), oggi deve valere

C + Ke^-r(T-t) = P + S

che fornisce un utile strumento per confrontare strategie simili utilizzando call piuttosto che put combinandole con posizioni sul sottostante o bond (il tasso senza rischio).

Dividendi

L’effetto del pagamento di dividendi durante la vita dell’opzione, è abbastanza scontato a questo punto. Considerato che una posizione su opzioni è sempre stata confrontata con una posizione sul sottostante, il possessore del titolo incassa i dividendi mentre il possessore del diritto no. Per una call è facile, per una put si pensi che invece di aver venduto il titolo si è comprata una put beneficiando dell’incasso del dividendo.

Come fatto per i futures, si considera D il valore attuale dei dividendi previsti (o conosciuti).

Supponiamo di costruire i seguenti portafogli:

1. una call più contanti per D + Ke^-r(T-t);
2. una unità di sottostante.

Volendo costruire una tabella come la precedente si avrebbe: 

A scadenza il primo portafoglio vale

D_T + Max(S_T,K)

e il secondo sempre

D_T + S_T.

Oggi deve allora valere

C + D+ Ke^-r(T-t) > S

C > S – D - Ke^-r(T-t).

Prendiamo ora i portafogli

3. una put e una unità di sottostante;
4. contanti per D + Ke^-r(T-t).

Si avrebbe 

 A scadenza per il primo si ha

D_T + Max(S_T,K)

e per il secondo

D_T + K

quindi oggi

P + S > D + Ke^-r(T-t)

P > D + Ke^-r(T-t) – S.

Fattori che influenzano il prezzo di un’opzione

Le variabili che concorrono a determinare il prezzo di un’opzione sono fondamentalmente sei, in particolare:

1. Prezzo corrente del sottostante S;
2. strike price K;
3. vita residua (T-t);
4. volatilità del sottostante;
5. dividendi attesi;
6. tasso senza rischio.

Premesso che l’impatto di tali variabili sul valore di un’opzione verranno approfonditi nel seguito, per il momento ci si limita a considerazioni di carattere generale ottenibili intuitivamente osservando l’effetto sui limiti inferiori al valore di call e put ricavati sopra.

1. All’aumentare del sottostante S, una call (put) aumenta (diminuisce) di valore in quanto aumenta (diminuisce) la probabilità di esercizio profittevole a scadenza, nonché l’entità di tale profitto.

2. All’aumentare di K le conclusioni sono opposte: una call (put) diminuisce (aumenta) in quanto è maggiore il prezzo a cui si ha diritto di acquistare (vendere).

3. All’aumentare della vita residua il valore di entrambe call e put aumenta. Per una prima intuizione, si consideri semplicemente che, a parità di altre condizioni, possedere un diritto con scadenza lunga offre tutte le opportunità di cui gode il possessore dello stesso diritto con scadenza breve più qualcosa. Questo “qualcosa” in più ha un prezzo.

4. Limitiamoci a dire che un aumento della volatilità induce un aumento di entrambe call e put. Il tutto dipende dall’asimmetria del payoff dell’opzione che, in caso sfavorevole limita le perdite.

5. Dalla sezione precedente si deduce che un aumento di D induce una diminuzione (aumento) di valore per una call (put).

6. Un aumento di r induce un aumento (diminuzione) di valore per una call (put) poiché il termine Ke^-r(T-t) diminuisce. Il problema però non è così semplice. Un aumento dei tassi di interesse ha anche effetti su S e su D. In particolare sia S che D dovrebbero diminuire e il tutto dipende dall’attualizzazione del dividendo atteso. Utilizzando un tasso più alto il valore attuale del dividendo D diminuisce; considerando che da un punto di vista fondamentale il prezzo di un titolo è l’attualizzazione dei cash flow futuri, anche S diminuisce. Riassumendo: per una put abbiamo due effetti negativi, diminuiscono Ke^-r(T-t) e D, e uno positivo, diminuisce S; per una call invece si hanno due effetti positivi, diminuiscono Ke^-r(T-t) e D, e uno negativo, diminuisce S. Conserviamo allora l’affermazione iniziale con la consapevolezza che il reale impatto di variazioni del tasso sul valore delle opzioni non è facilmente valutabile (d’altronde non è nemmeno usato più di tanto essendo molto più importanti le prime variabili).