da cui si ottengono le soluzioni Δ=0.526315 e B=-45.614035 (il segno negativo significa prendere a prestito). Calcolando il costo di tale portafoglio oggi si avrebbe

100Δ+B=52.6316-45.614035=7.018.

Osservando che tale portafoglio a scadenza vale esattamente quanto l’opzione, per ovvie considerazioni di arbitraggio il costo oggi deve essere esattamente pari al premio dell’opzione.
Volendo generalizzare, si noti u il fattore di crescita del titolo e d=1/u il coefficiente in caso di diminuzione (porre d=1/u risulterà utile nell’analisi su più periodi). Nell’esempio precedente si è supposto u=1.1, cioè un tasso di crescita del 10%. Si avrebbe S_u=uS e S_d=dS e il sistema si potrebbe scrivere

Equazione 1

Equazione 2

Equazione 3

Diverse caratteristiche di tale equazione meritano di essere sottolineate:

  Seppur inverosimile, nella formula di valutazione non compare la probabilità assegnata a priori al rialzo piuttosto che al ribasso del sottostante. Ciò significa che due investitori che assegnino probabilità diverse al realizzarsi di S_u e S_d, devono comunque concordare sul valore dell’opzione.

  Ancora, tale valore non dipende dalle attitudini al rischio degli investitori.

  Infine ponendo p= e notando che =1-p e 0<p<1 (soddisfa tutte le caratteristiche di una misura di probabilità), si può riscrivere , interpretando la somma tra parentesi come il valore atteso del payoff dell’opzione usando le probabilità p e 1-p. Il premio dell’opzione è quindi il valore atteso attualizzato (scontato al tasso senza rischio r) dei payoff del derivato. Inoltre, notando la probabilità soggettiva (caratteristica di ogni individuo) q, si supponga di ricercare per quale valore di q l’investitore sia neutro rispetto al rischio. Ovvero si vuole che il valore atteso di un ipotetico investimento nel titolo S sia equivalente al montatnte di un investimento al tasso senza rischio. In formule quS+(1-q)dS=(1+r)S da cui si ottiene q=p. La probabilità p prende allora il nome di probabilità neutra al rischio.

Riguardo all’ultimo punto, riprendendo i numeri dell’esempio precedente (u=1.1 e d=1/u=0.91), si avrebbe p=(1+0.05-0.91)/(1.1-0.91)=0.737 e questa è la probabilità (neutra al rischio) che l’opzione valga C_u=10 a scadenza. Calcolando il valore atteso del payoff si ha 0.737*10+0.263*0=7.37. Tale valore scontato ad oggi diventa 7.37/1.05=7.019 che, a meno di approssimazioni nei calcoli, coincide ovviamente con il valore trovato in precedenza.

L’estensione del modello su due periodi è abbastanza semplice dal punto di vista matematico grazie all’equazione 4 vista sopra. Inoltre, forti del concetto di portafoglio “duplicante”, risulterà anche intuitiva. Nel foglio seguente si riporta un ipotetico albero a due periodi usando i valori dell’esempio precedente dove il numero inferiore indica la probabilità di raggiungere il nodo (le caselle di testo indicano le formule in ogni cella).

Fin qui si sono visti due diversi modi di applicare l’eqazione 4: in un solo passaggio applicando la formula piuttosto che riapplicandola in ogni nodo. La caratteristica comune è di partire dal valore terminale. Ovviamente l’utilità pratica dell’equazione 4 si rivela nel primo metodo di applicazione, ma il secondo ha il pregio di potersi collegare al concetto di portafoglio duplicante ed alle considerazioni di arbitraggio che ci possono convincere della validità del metodo.

Seguendo l’approccio di procedere a ritroso valutando singolarmente i vari nodi ad ogni data, esso risulta equivalente a dover risolvere in ogni nodo un sistema del tipo in equazione 1. Ogni volta si ricaverebbero quindi delle quantità Δ di sottostante e B di bonds per formare il portafoglio duplicante in quel preciso caso. Nella tabella seguente si ripormmmmmmta l’albero precedente dove nei vari nodi sono riportati i valori di Δ, B (calcolati con le equazioni 2 e 3) e il valore del portafgolio duplicante SΔ+B (che nei nodi intermedi diventa il C_u e C_d da usare il passo successivo).

Come ci si poteva aspettare il portafoglio duplicante vale esattamente quanto il valore dell’opzione in ogni nodo.

Inoltre notiamo come la composizione del portafoglio duplicante vari nel tempo secondo i movimenti del sottostante. Ciò significa che per poter duplicare l’opzione in ogni periodo bisogna riaggiustare dinamicamente, ad ogni tempo t, la posizione in sottostante. L’esempio rappresenta un tipico caso della nota strategia di copertura detta delta hedging. Tale strategia verrà approfondita in seguito quando potremo interpretare meglio la quantità Δ dal punto di vista teorico e ne estenderemo il concetto ad un portafoglio in generale.

Supponiamo ora di osservare in t=0 una quotazione dell’opzione C=12. Come approfittare della situazione? Di seguito una semplice strategia di arbitraggio basata sul delta hedging.

1.  t=0: vendiamo la call a 12. Di questi ne usiamo 10.37685 per costruire un portafoglio con Δ=0.77 azioni. Tale portafoglio costerebbe 0.77*100=77; la differenza 77-10.37685=66.62315 la prendiamo a prestito. Avanzano sempre 12-10.37685=1.62315 che investiamo al tasso senza rischio.

2.   t=1

2.1. S=91. Δ=0 quindi vendiamo i titoli in portafoglio al prezzo di mercato incassando 0.77*91=70.07. Il debito nel frattempo è diventato 66.62315*1.05=69.95 e lo rimborsiamo completamente con l’incasso della vendita dei titoli (la differenza può dipendere da approssimazioni nei calcoli). L’opzione vale 0 e ci resta l’avanzo investito al tasso senza rischio.

2.2. S=110. Δ=1 quindi si devono acquistare 1-0.77=0.23 titoli al prezzo di mercato spendendo 0.23*110=25.3. La liquidità per pagarli viene presa a prestito che, sommando il debito precedente aumentato degli interessi, diventa 66.62315*1.05+25.3=95.2543.

3.  t=2

3.1. S=82.727. Veniamo dal caso 2.1 e in portafoglio non abbiamo nulla. Ritiriamo il montante della somma depositata pari a 1.62315*1.05²=1.789 che è il profitto di arbitraggio.

3.2. S=100. Se arriviamo dal caso 2.1 vale il discorso precedente. Se arriviamo dal caso 2.2 allora vendiamo 1 titolo a 100 per ripagare il montante del debito che è pari a 95.2543*1.05=100.017 (ancora lo si rimborsa completamente a meno di arrotondamenti nei conti). L’opzione scade senza valore e di nuovo rimane il montante del versamento iniziale pari a 1.789.

3.3. S=121. La call venduta viene esercitata e dobbiamo consegnare il titolo a 100. Con questi ripaghiamo il debito e rimaniamo con il solito profitto di arbitraggio di 1.789.

La prima osservazione è che solo aumentando di due periodi la scadenza, il prezzo dell’opzione è quasi raddoppiato. La motivazione è semplice: aumentando il numero di periodi nel calcolo del valore atteso finale sono entrati due termini, uno positivo e l’altro pari a zero (anche se il sottostante scende molto l’opzione vale al minimo 0). Anche senza considerare variazioni di probabilità, è immediato accorgersi che “in media” si è aggiunto qualcosa. Per rendere più esplicita la cosa, nel foglio di esempio, con le frecce in grassetto si è evidenziato l’albero a due periodi della sezione precedente.

La seconda osservazione, riguardo all’effetto della volatilità è molto più facile da spiegare dopo aver provato a modificare il valore di u nel foglio precedente ottenendo i seguenti valori:

Si nota che un aumento di u, e quindi anche una diminuzione di d, ha provocato un allargamento del possibile range di valori del sottostante, facilmente interpretabile come un aumento della volatilità. Tale effetto si è ripercosso sui valori dell’opzione aumentandoli quando erano positivi, ma lasciandoli fissi a zero quando l’opzione scade out of the money. Ancora si può affermare che “in media” si aggiunge qualcosa al valore atteso giustificando un incremento del premio. 

Una cosa che non era ancora stata specificata nella trattazione è l’ampiezza del periodo tra un tempo e l’altro. Supponiamo per semplicità che nei fogli precedenti tale periodo fosse pari a un bimestre e consideriamo T=1, ovvero

Potremmo ora pensare di ridurre l’orizzonte a 1 solo mese e otterremo in tal modo una biforcazione intermedia. Per non alterare i valori finali si rende necessario però ricalcolare u e r per renderli compatibili con il nuovo orizzonte temporale.

Volendo considerare poi un intervallo di quindici giorni si avrebbe:

Per non voler entrare nei dettagli statistico/matematici del modello si rimanda al prossimo capitolo la discussione su come ricavare la formula per prezzare le opzioni. L’utilizzo degli alberi binomiali si rivelerà di nuovo utile in seguito quando verrà definito correttamente come scegliere u in base alla volatilità del sottostante e qualora lo si voglia utilizzare per delle simulazioni.