a
cura di Pierpaolo (forum di BorsAnalisi del 17/8/2002)
Provo
a rispondere al problema "che cos'è la volatilità implicita
delle opzioni?" spesso di difficile comprensione per gli
operatori che si avvicinano al mercato delle opzioni o dei covered
warrant, spero che il mio post possa tornare ultile a chi vuole
approfondire l'argomento su come vengono prezzate le opzioni. Premetto
che posso dire anche qualche castroneria e nel caso fareste molto bene
a farmele notare.
La
volatilità storica si calcola con la classica formula matematica
della deviazione standard, che è in pratica la media degli scarti tra
rendimenti giornalieri e il rendimento medio giornaliero. Se per
esempio si ha questa serie di rendimenti giornalieri:
-2%
+1%
-2%
+3%
si
ottiene che il rendimento medio è 0 (-2+1-2+3)/4=0 (in realtà
occorrerebbe considerare i rendimenti logaritmici, ma per semplicità
uso quelli semplici).
Per
ottenere la media degli scarti dalla media (deviazione standard) si fa
un procedimento che serve a rendere tale valore sempre positivo: in
pratica gli scarti li si elevano al quadrato in modo da essere tutti
positivi, e poi dopo aver fatto la somma di tali valori (ottenendo la
varianza) si fa la radice quadrata, che sarà anch'essa sempre
positiva.
Si
ottiene la varianza in questo modo:
[
(-0,02-0)^2 + (+0,01-0)^2 + (-0,02-0)^2 + (+0,03-0)^2 ] / 4 =
=
(0,0004 + 0,0001 +0,0004 +0,0009 ) / 4 = 0,0018 / 4 = 0,00045
La
deviazione standard è la radice della varianza, e quindi è pari a
0,0212, cioè al 2,12%.
In
pratica possiamo dire che 2,12% è la volatilità storica di un
campione di rendimenti giornalieri presi in 4 giorni borsirsici che
hanno avuto quei rendimenti giornalieri.
Solitamente
in realtà la volatilità storica si calcola per una serie storica più
ampia di dati, in modo da essere più significativa e meno
"volatile". Generalmente il campione che viene preso è tra
gli ultimi 20 giorni (volatilità storica a breve) e gli ultimi 6
mesi, e si può per esempio decidere di sovrappesare nel calcolo gli
ultimi giorni, perchè si vuole considerare essi come più
significativi. (Pensa se calcolassi la volatilità a 6 mesi: i
rendimenti della fine dell'inverno e dell'inizio di primavera
abbasserebbero molto la volatilità, in quanto a quel tempo eravamo in
trading range stretto, e poi giorno dopo giorno uscirebbero tali dati
dal campione di 6 mesi e questo farebbe da solo alzare la volatilità
storica anche se la borsa in questi giorni si comportasse ogni giorno
nella stessa maniera.)
Adesso
passiamo alla volatilità implicita che è un concetto completamente
diverso, anche se usa lo stesso concetto statistico di deviazione
standard.
In
pratica Black & Scholes per il calcolo della loro formula di
valutazione dei derivati ipotizzano che i rendimenti giornalieri del
mercato che si sta considerando si distribuiscono secondo una
distribuzione normale con rendimento medio r (tasso di interesse free
risk) e deviazione standard §.
Cioè: si ipotizza che i rendimenti giornalieri del mercato si
distribuiscano come una gaussiana. La gaussiana è famosa e importante
nello studio della statistica, perché ha una caratteristica
fondamentale: è definita da due soli valori, cioè la media e la
deviazione standard. Che vuol dire? Vuol dire che se io so che i
rendimenti giornalieri si distribuiscono come una gaussiana, con media
m e deviazione standard §, io riesco a calcolare perfettamente, ad
esempio, la probabilità che il rendimento di una certa giornata sia
inferiore a un certo valore. Esempio: su alcuni libri si trova la
tabella con la distribuzione normale standardizzata, cioè la
distribuzione normale che ha media 0 e deviazione standard 1. Con una
distribuzione di questo genere, puoi rispondere agevolmente per
esempio a questo tipo di domande:
Qual
è la probabilità che il rendimento di un giorno sia negativo?
Ovviamente 50%
Qual
è la probabilità che il rendimento giornaliero sia peggiore di
–3%? Lo 0,14% (lo ricavi dalla tabella nei libri, da qualche
calcolatrice o da una formula in excel.
Andiamo
ora sul più pratico (si veda anche il grafico sotto): tanto maggiore
è la deviazione standard in una normale tanto più “volatile” è
la distribuzione dei rendimenti (la gaussiana è cioè molto
“grassa”, e quindi rendimenti giornalieri molto negativi o molto
positivi sono più probabili rispetto a quello che indicherebbe la
normale standardizzata, o comunque una normale con stessa media e
deviazione standard inferiore). Quindi per esempio la probabilità che
un giorno si possa avere un ribasso peggiore del 3% è ben più alta
dello 0,14%, e come ben sappiamo in borsa tale probabilità è infatti
molto più alta).
Black
e Scholes nella loro formula di valutazione dei derivati ipotizzano
perciò che i rendimenti giornalieri del mercato si distribuiscano
secondo una gaussiana con media r e deviazione standard § CHE
DECIDEREMO NOI, o meglio CHE DECIDE IL MERCATO, anche, ma non solo,
basandoci sull’andamento passato della volatilità che possiamo
rilevare calcolandoci la volatilità storica.
Dire
perciò che la volatilità implicita delle mibo a 4 mesi è del 24%
significa questo: se approssimiamo che i rendimenti giornalieri si
distribuiranno secondo una normale, con media r (tasso free risk da
qui a scadenza) e deviazione standard 24% si può calcolare la
probabilità che l’opzione vada in the money, e quindi si può
calcolare anche il “giusto prezzo” dell’opzione tale per cui in
media né il venditore né l’acquirente dell’opzione guadagnano (o
meglio, il compratore in media riceve il free risk rate e il venditore
paga in media il free risk rate). Se per esempio una certa call con
prezzo 120 ha volatilità implicita 24% (ricavabile con la formula
“inversa” della black e scholes), significa questo: se fosse vero
che i rendimenti giornalieri si distribuissero come una normale, in
particolare con media r e volatilità 24%, mediamente il possessore di
questa call si troverebbe a scadenza un valore di 120*(1+r), quindi
per non essere arbitraggiata l’opzione giustamente deve essere
venduta a 120 (se invece di comprare l’opzione avessi investito i
soldi al free risk a scadenza avresti avuto 120(1+r) ). Se provassimo
infatti infinite volte di comprare oggi a 120 tale call, e andassimo a
scadenza (col mercato che effettivamente si comporta come previsto
dalla gaussiana con media r e volatilità 24%), mediamente ci
troveremmo a scadenza 120(1+r), perché, per esempio (la faccio molto
facile) l’80% delle volte l’opzione a scadenza non viene
esercitata ma il 20% delle volte ci troviamo a scadenza che
l’opzione viene esercitata a 600(1+r), quindi la media totale di
quello che riceviamo a scadenza è 120(1+r).
Qualcuno potrebbe dire: “ma scusa, io preferirei certamente in tale
caso non comprare l’opzione ma investire in titoli di stato che mi
garantiscono sempre 120(1+r), cosa che invece l’opzione mi
garantisce in media ma non sempre, facendomi rischiare l’80% delle
volte di perdere tutti i soldi!”. La risposta a questo giusto dubbio
è: hai ragione tu a preferire i titoli di stato rispetto a un
investimento sull’opzione, ma questo non conta nulla per la
valutazione dell’opzione (che il mio interlocutore acquisterebbe
solo per un prezzo molto inferiore e quindi aspettandosi un rendimento
più alto che compensi il maggior rischio che corre rispetto
all’acquisto di titoli di stato) perché il rischio che si corre
comprando l’opzione è annullato dalla possibilità che abbiamo di
coprirci. Se infatti il mercato si comporta proprio secondo una
normale con media r e volatilità 24%, e se si copre il possesso
dell’opzione detenendo in ogni momento una posizione sul sottostante
in misura pari a –DELTA (calcolato secondo la black e scholes, che
varia in ogni istante al variare dei vari fattori di mercato, e che
perciò ci costringe a piccoli aggiustamenti in ogni momento sulla
posizione sul sottostante [delta hedging] ) noi otteniamo un
rendimento sul capitale impiegato per tutta la posizione (opzione e
sottostante) pari al tasso free risk qualsiasi cosa succeda. Ragion
per cui è giusto che l’opzione non valga un prezzo inferiore per
compensare il detentore con un rendimento che compensi il maggior
rischio che si corre, in quanto se vuole il detentore può benissimo
comprare l’opzione e costruirsi una posizione priva di rischio,
sulla quale è giusto che ottenga non più del rendimento free risk.
Quindi
la volatilità implicita è un valore che racchiude in se delle
ipotesi molto forti e irreali sull’andamento futuro del mercato (è
ovvio che la borsa non si distribuisce secondo una normale), ma
occorre vedere anche se tali ipotesi sono oltre che irreali anche
irrealistiche.
Per esempio, possiamo osservare che la distribuzione dei rendimenti
delle borse non ha proprio la forma di una perfetta normale, bensì la
curva di tali rendimenti effettivi “ha una coda sinistra molto più
lunga e spessa rispetto alla coda destra”. Cosa vuol dire ? Vuol
dire che in realtà è più alta la probabilità che una borsa crolli
un giorno del 6% rispetto alla probabilità che la borsa aumenti del
6%. Viceversa è più probabile che una borsa aumenti dello 0,5%
rispetto a che diminuisca dello 0,5%. Queste caratteristiche che
distinguono i mercati azionari dall’avere una distribuzione dei
rendimenti perfettamente normale impongono gli operatori in opzioni di
“correggere” i parametri usati per la valutazione delle opzioni.
Ma siccome l’unico dato “arbitrario” che serve per applicare la
formula di black e scholes è la volatilità implicita (il valore del
sottostante lo conosciamo, il tasso free risk lo conosciamo, lo strike
lo conosciamo, il tempo alla scadenza lo conosciamo….), è su tale
valore che si “scaricheranno” tutte le correzioni che gli
operatori fanno per correggere i limiti della formula di black e
scholes. Per esempio: gli operatori sono concordi che la volatilità
futura del mercato sarà del 20%, ma sono anche concordi che i
rendimenti non si distribuiranno secondo una normale ma secondo una
curva simile a una normale ma con la coda sinistra allungata (cioè le
probabilità di rendimenti molto negativi è più alta di quanto
indicherebbe una distribuzione normale). L’acquirente di una put
accetterà perciò di comprare una put anche con una volatilità
implicita superiore a 20%, perché sa che la probabilità di crolli
del mercato è più alta di quanto direbbe una distribuzione normale
con vola al 20%. E il venditore della put accetterà di vendere tale
put solo per un prezzo che sia determinato applicando una volatilità
implicita superiore al 20%, perché se invece la put fosse venduta con
una vola implicita del 20% sa che lui mediamente perderebbe soldi in
quanto il mercato ha in realtà rendimenti molto negativi con più
probabilità di quanto direbbe una distribuzione normale con vola 20%.
Ecco perché la formula di Black e scholes pur con i limiti (nelle
ipotesi fatte che sono troppo forti e irreali) può benissimo essere
applicata per valutare le opzioni: è molto semplice da usare, con un
solo parametro (la volatilità implicita) non osservabile sul mercato;
l’importante è conoscerne i limiti e correggere nella valutazione
dei prezzi tali ipotesi troppo forti, scaricando sul valore della
volatilità implicita tale correzioni.
Altro
esempio: gli operatori sanno che è molto più probabile che il
mercato si muovi in una direzione ben precisa per poco tempo rispetto
al caso in cui si considera un andamento della stessa forza per un
periodo di tempo più lungo (cioè: è più probabile che il mercato
faccia il 10% in un mese rispetto alla probabilità che faccia il 60%
in 6 mesi). Il mercato correggerà tale distorsione in questo modo:
valuteranno le opzioni applicando una volatilità implicita più alta
per le opzioni con scadenza a breve termine rispetto alla volatilità
implicita applicata alle opzioni con scadenza a lungo termine. Se però
ci si trovasse in un periodo estremamente piatto, per cui le opzioni
con volatilità a breve sono valutate con volatilità a breve
estremamente bassa in quanto nessuno si aspetta a breve forti
movimenti, gli operatori potrebbero pensare che questo piattume non
durererà molto a lungo, per cui le opzioni con scadenza a lungo
termine saranno valutate con volatilità implicita più alta rispetto
a quella a breve. In questo momento io che sono rialzista, visto che
ci troviamo in un periodo di forte volatilità, non accetterei mai di
pagare una volatilità implicita su una call a 6 mesi uguale alla
volatilità implicita delle call a un mese: preferirei senz’altro
acquistare la call a un mese, ovviamente investendo meno e tenendomi i
soldi rimanenti nel cassetto pronto a ripetere l’operazione tra un
mese, se la call scadrà out of the money, a investire altri soldi su
call a breve. Solo se posso trovare call a lungo termine (come in
effetti accade) con volatilità ben più bassa di quelle a breve
accetterò di prendere in considerazione tali opzioni a lungo termine.
Tale differenze di volatilità implicite per diverse scadenze
determinano la struttura a scadenza della volatilità implicita.
Ultimo
esempio: sappiamo che il mercato in realtà si muove non
indipendentemente dal suo passato (come invece ipotizzano black e
scholes): la probabilità che il mercato da qui a 6 mesi mi faccia un
rialzo del 40% è più alta oggi (dopo il crollo delle borse),
rispetto al caso in cui venissimo da un passato di forti rialzi. Il
mercato corregge tale “dimenticanza” di black e scholes attraverso
il volatility smiles, che generalmente ha un andamento “triste”
anziché “sorridente”: all’aumentare dello strike gli operatori
si incontrano su livelli di volatilità implicita più bassi rispetto
a quelli su cui si incontrano per strike meno out of the money: è
“più facile di quanto direbbe la distribuzione normale” che il
mercato faccia da oggi a scadenza il 20% (facendo per esempio andare
in the money un’opzione con strike del 15% più alto del prezzo del
sottostante odierno) rispetto a che il mercato, nello stesso periodo
faccia un rialzo del 20% due volte (facendo per esempio andare in the
money un’opzione con strike del 35% più alto del prezzo del
sottostante odierno). Gli operatori correggeranno questa imperfezione
della black e scholes scambiandosi solitamente l’opzione con strike
più alto (nell’esempio quella con strike del 35% out of money)
applicando una volatilità inferiore rispetto a quella con cui
scambiano l’opzione con strike più basso (nell’esempio quella con
strike del 15% out of money). Queste distinzioni delle volatilità
implicite a seconda della lontananza dello strike (a parità di
scadenza), prendono il nome di “volatility smile”.
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